微分方程

简述

这篇博文主要将一些微分方程的解法记录在这里，会持续更新。

一

$v(t) = exp(At)v(0)$是微分方程$\frac{d}{dt}v(t) = Av(t)$的解。

其中$A$是矩阵，当然也可以是一个常数。$v(0)$是$v$的初始值。

证明

先对$v(t) = exp(At)v(0)$进行泰勒展开，然后对$v(t)$进行微分。

$$\begin{align} & e^{tA}v(0) = t^0A^0v(0) + t^1A^1v(0) + \frac{t^2}{2}A^2v(0) + \frac{t^3}{6}A^3v(0) + \cdots + \frac{t^n}{n!}A^nv(0) + \cdots \notag \\ & \frac{d}{dt}v(t) \notag \\ &= \frac{d}{dt}e^{tA}v(0) \notag \\ &= t^0A^1v(0) + t^1A^2v(0) + \frac{t^2}{2}A^3v(0) + \frac{t^3}{6}A^4v(0) + \cdots + \frac{t^{(n-1)}}{(n-1)!}A^{n}v(0) + \cdots \notag \\ &= A(t^0A^0v(0) + t^1A^1v(0) + \frac{t^2}{2}A^2v(0) + \frac{t^3}{6}A^3v(0) + \cdots + \frac{t^{(n-1)}}{(n-1)!}A^{n - 1}v(0) + \cdots) \notag \\ &= Ae^{tA}v(0)\notag \end{align}$$

所以可得，

$$\begin{align} \frac{d}{dt}v(t) = Ae^{tA}v(0) = Av(t) \notag \end{align}$$

即当$v(t)=e^{At}v(0)$时，$v(t)$的微分是$Av(t)$

所以倒退，$v(t) = exp(At)v(0)$是微分方程$\frac{d}{dt}v(t) = Av(t)$的解。