SIR模型

简述

这学期选了门课，複雑システムのモデル化と問題解決。老师是位很元气的人😂。课程上会介绍应用在不同领域的各种数学模型。按之前的话，这课我可能听一节就跑了，但老师讲的日语实在是太容易听懂了（上课的时候我记的笔记都是在记实用的日语表达方式😂），所以就留下来了。不过每节课都要被提问，也是挺顶的。

SIR模型是用来模拟分析感染者数量的一种模型，这次对新冠疫情进行一个简单的分析模拟。

SIR

S（Susceptibles）：易感人群，但还没有感染

I（Infected）：已感染的人群

R（Removed）：移除人群，如死亡和回复健康。

这里还要有几个假设。三种人群的总和一直保持不变，即病毒的致死率很低，所以几乎没有死亡的人。感染回复后的人群也不会再二次感染。

当然根据不同的假设，SIR还有很多的变体模型。

定义式

$$\begin{align} & \frac{dS}{dt} = -\beta IS \notag \\ & \frac{dI}{dt} = \beta IS - \gamma I \notag \\ & \frac{dR}{dt} = \gamma I \notag \end{align}$$

定义式其实还有一种写法，

$$\begin{align} & \frac{dS}{dt} = -\beta \frac{IS}{N} \notag \\ & \frac{dI}{dt} = \beta \frac{IS}{N} - \gamma I \notag \\ & \frac{dR}{dt} = \gamma I \notag \end{align}$$

第一种写法是将$S,I,R$定义为三者分别在人群中所占的比例。而第二种写法

$S,I,R$就是代表数量。$S’=\frac{S}{N}, I’=\frac{I}{N}, R’=\frac{R}{N}$代入第一种写法中也可以得到第二种写法。

这次我主要采用第一种写法。

$\beta$是感染率，$\alpha$是回复率。具体数值的推测比较复杂，这里直接写出模拟所用的数值$\beta = 0.5479541876100241$, $\gamma = 0.3050387232391092$

$R_0 = \frac{\beta}{\alpha}$是感染半径，当大于1时，病毒会向外扩张，小于1时，病毒则不会外传。

结果

主要对北京的数据进行模拟。

数据来自HDX的Novel Coronavirus (COVID-19) Cases Data

$\alpha$和$\beta$的推测也是基于该数据的。

x坐标为0表示的是2020年1月22那一天。